平成12年9月23日
糸瀬善人

１　Billiards 9-Ball Puzzleとは

Billiards 9-Ball PuzzleとはBinaly Arts Corporationが販売している，手のひらサイズのスライドパズルである。
以下，同社のホームページからの引用である。　
（https://store.msconsulting.com/cart/ShoppingCart.asp）

Another Perplexing Puzzle for Pool Shark Wannabes
A cue ball, nine pool balls, and a circular track with a twist combine to create a clever little hand-held puzzle.
The goal: Arrange the numbered pool balls in numerical order and put the cue ball in the center.

※　Binaly Arts Corporation
　　1321 Cameron street Alexandria,VA 22314 USA
　　(http://www.puzzles.com/)

２　操作の表現および分析

(1)　単位操作

パズルを左右2つのパーツに分ける。そしてつぎの５つの単位操作を考える。

	�@　操作　A ：左のパーツをコマ1つ分，左回転させる。
	�A　操作　A-1 ：左のパーツをコマ1つ分，右回転させる。
	�B　操作　B ：右のパーツをコマ1つ分，右回転させる。
	�C　操作　B-1 ：右のパーツをコマ1つ分，左回転させる。
	�D　操作　I ：何もしない。

(2)　操作の連続

単位操作を連続して行い，最後に正解を得ることを考える。
A　の後，B　を行うことを　AB　と表す。
3つ以上の連続操作についても同様に　ABA^-1　などと表す。
同じ操作が連続するときは　AA＝A²　のように指数表現を行う。

(3)　操作の基本法則

以下のことがすぐに理解できるであろう。
�@　AA^-1＝A^-1A＝I
�A　BB^-1＝B^-1B＝I
�B　A⁶＝A^-6＝B⁶＝B^-6＝I
�C　Aⁿ＝A^(6-n) ，Bⁿ＝B^(6-n)　（0＜n＜６）

３　BILLIARDSの解決

(1)　基本操作　T

単位操作を組み合わせて次の基本操作　T　を得る。 基本操作　T＝ABA-1B-1 この操作により，10個のボールは右図のように移動する。 そして，このボールの動作結果により，次のことがわかる。 式１　：　T＝T-1　　（注　T-1＝BAB-1A-1である） 式２　：　T2＝I

(2)　基本操作 T_n

基本操作　T　を元に，次の基本操作　T₁〜T₅　を考える。

T1＝TB-1TB	T2＝TB-2TB2	T3＝TB-3TB3
T4＝TB-4TB4	T5＝TB-5TB5

(3)　基本操作　TnX

基本操作　Tn　と基本操作　X　を続けることで，次の基本操作　TnX　を得る。

	（Tn）2	Tn T	Tn B	Tn B-1
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5

(4)　n次の循環

操作　T₁　はその操作結果から，　T₁⁵＝Ｉ　となることがわかる。
このことを　T₁　は５次の循環であるという。
T₂　は４次の循環であり，　T₂²　は２次の循環となる。
T₃　は６次の循環，　T₃²　は３次の循環，　T₃³　は２次の循環である。
T₄　は４次の循環，　T4²　は２次の循環である。
T₅　は5次の循環である。

(5)　ｎ次循環の応用操作

ここでコマ２つを入れ替える２次循環操作，コマ3つを入れ替える３次循環を考える。入れ替えるコマは，なるべく近くのわかりやすいものがよい。そこで応用操作として次のものを選ぶ。

2次の循環	T	(T2)2	(T4)2	T5 T
	(T2 B)3	(T3 B-1)3	(T4 B-1)3
３次の循環	(T3)2	(T2 B)2	(T3 B)2	(T3 B-1)2
その他の特殊操作	(TA-2TA2A)3	{(TB-2TB2)(A-2TA2T)}2

(6)　解の見つけ方

次の順に操作を進めていけば，正解が得られる。
�@　まず，　A　のパーツのコマ１，２，３，４を揃える。
�A　コマ２，３，４以外の計７個のコマを動かしながら，コマ５，６を揃える。
　　ここでは，簡単な操作　T　を多用するとよい。
�B　コマ７，８，９をn次循環の応用操作を使い，正解を得る。

＝＝＝＝＝　以上　＝＝＝＝＝